Math Lab

数学にセンスはいらない。

三角関数と基本公式の証明

三角関数の基本公式と証明

三角関数は式変形が命です.
三角関数の公式の多くは忘れても構いません.覚えられなくても,導けるようにしっかりと練習していきましょう.

「気づいたら覚えてしまった」という状態になるのが理想です.

三角比の相互関係

基本中の基本です.

  • \tan\theta=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\cdots{①}
  • \sin^2\theta +\cos^2\theta=1\cdots{②}
  • 1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\cdots{③}

証明

  • 上2つは単位円を描いて確認を.この2つは当たり前の感覚になるように.
  • ③の式はの②の式の両辺を  \cos^2\theta で割り.①を使うことで得られます.忘れても導けるように練習を!

加法定理

加法定理は最重要公式です.加法定理を用いて他の公式を全て導くので.必ず暗記しましょう.証明はできなくても良いかなと思います.昔,東大で出題されましたが使えることの方が重要なので...ということで証明は略.

  • \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
  • \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
  • \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
  • \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
  • \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
  • \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}


覚え方

  1. リズムで覚えちゃいましょう.好きなゴロ合わせでもいいでしょう.(\alpha+\beta) の方だけ覚えます.-+, - 入れ替えればよいので.
  2. \tan のおすすめ.「1引くタンタン(分母)タンプラタン(分子)!」勢いよくリズムで覚えましょう.これは\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)}から導くこともできます.加法定理で展開して,相互関係を使うと作れます.

倍角公式

  • \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta
  • \cos 2\theta=2\cos^2\theta-1, 1-2\sin^2\theta
  • \tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}



証明

加法定理から全て導けます.忘れても導けるように練習を.最後は頭の中ですぐく作れるように.

2\theta=\theta+\theta として加法定理を適用

   
\begin{align}
\sin 2\theta&=\sin(\theta+\theta)\\
&=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\\
&=2\sin\theta\cos\theta
\end{align}



   
\begin{align}
\cos 2\theta&=\cos(\theta+\theta)\\
&=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta\\
&=\cos^2 \theta-\sin^2\theta
\end{align}

ここで,
  
\begin{align}
\cos^2 \theta-\sin^2\theta&=\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)\\
&=2\cos^2\theta-1
\end{align}

また,
  
\begin{align}
\cos^2 \theta-\sin^2\theta&=(1-\sin^2\theta)-\cos^2\theta\\
&=1-2\sin^2\theta
\end{align}



   
\begin{align}
\tan2\theta&=\dfrac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan^2\theta\tan\theta}\\
&=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}
\end{align}



半角公式

  • \sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}
  • \cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}
  • \tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}

証明

半角公式は\cos の倍角公式から導きます.\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1, 1-2\sin^2\theta を変形して作ります.これも最後は頭の中で作れるように.

半角公式は\cos の倍角公式から導け

\cos2\theta=1-2\sin^2\theta から,\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}

角度を \theta\dfrac{\theta}{2} に置き換えると \sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}

 次は,\cos2\theta=2\cos^2\theta-1 から,\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}

角度を \theta\dfrac{\theta}{2} に置き換えると \cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}


\begin{align}
\tan^2\dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{\sin^2\dfrac{\theta}{2}}{\cos^2\dfrac{\theta}{2}}\\
&=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\\
&=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}
\end{align}




3倍角

  • \sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta
  • \cos3\theta=-3\cos\theta+4\cos^3\theta

覚え方

これも加法定理から導けますが,ゴロで覚えた方が楽だと思います.


\sin : 4歳引いて3歳参上!

\cos : 坊さんコスプレ,四国に参上!

どこがどう対応しているか,チェックしてみてください.

証明

これも倍角と同様に加法定理を適用することで証明できます.3\theta=\theta+2\theta で加法定理です.一度は手を動かして証明してみてください.




三角関数の合成

三角関数の合成は,三角関数の不等式,最大最小値問題でむちゃくちゃ使いますので,しっかりと押さえましょう.単に,合成の式を暗記することに何も意味はないです.手順を追って毎回作れるように.すらすらできるまで十分に練習しましょう.

三角関数の合成
a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)

ただし,\alpha\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} を満たすもの.


合成の仕方

  1. 図のような三角形を考える.(ax 座標,by 座標に対応)f:id:mathchem:20170227190133p:plain:w125:right \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}を満たす.
  2. \sqrt{a^2+b^2} でくくる a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\sin \theta+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\cos \theta \right)
  3. 1.と加法定理の逆を考える.  a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\left(\cos\alpha\cdot\sin \theta+\sin\alpha\cdot\cos \theta \right)\sin(\theta+\alpha)=\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha なのでa\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)


またも加法定理でした.合成は単なる加法定理の逆をやってるだけですね.




積和,和積 公式

  • 和積:\sin x+\sin y=2  \sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}
  • 積和:\cos x \cos y = \dfrac{1}{2}\{\cos(x+y)+\cos(x-y)\}

どんなとき使うか

和→積の公式は,三角関数の基本公式を用いてもどうにもならない方程式・不等式のとき,利用することが多いです.積の形に直せるので方程式・不等式に強くなります.

一方,積→和の公式は三角関数の積分で次数を下げたいときに利用することが多いです.三角関数の積分は積にはめっぽう弱いので次数を下げます.

作り方

これもすべて加法定理から導くことができます.問題に応じて必要な式を作っていきましょう.覚える必要は一切ないです.使用頻度も倍角・半角にくらべたら少ないのですし...

まずは和積.

加法定理から作れることを意識しましょう.
今回は \sin の和を変形したいので,\sin の加法定理

  \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

  \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

両辺足して

  \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta

両辺2で割り,\alpha+\beta=x, \alpha-\beta=y から

  \sin x+\sin y=2  \sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}


次に積和.

\cos の積を変形したいので,\cos の加法定理を.
 
  \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

  \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

両辺足すと,

  \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta

両辺2で割り,\alpha=x, \beta=y とすると,

  \cos x \cos y = \dfrac{1}{2}\{\cos(x+y)+\cos(x-y)\}