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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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教科書のススメ

おすすめの人は? 全員におすすめできます.特に 数学に苦手意識がある子 部活等で学習時間があまり確保できない子 使用条件 学校の先生が教科書を活用してくれている. (教科書の問題が解けるような授業をしてくれている) ノートをちゃんと取っている人 教…

整数 単元別入試問題

整数 不定方程式 2009年 名古屋大 おススメ度★★★ 難易度★ 2009年 一橋大 おススメ度★★★ 難易度★ 2013年 一橋大 おススメ度★★★ 難易度★ 2010年 大阪大 おススメ度★★★ 難易度★★ 2012年 一橋大 おススメ度★★★ 難易度★★ 約数 素数 倍数の証明 2014年 東工大 おス…

2014年 東工大 倍数の証明 〜東工大の数学〜

2014年 東工大 3以上の奇数 に対して, と を次のように定める. , (1) と はどちらも整数であることを示せ. (2) は4の倍数であることを示せ. 思考力,発想力なんかいらない! 簡単な整式の式なので,連続する整数の積を考えます. 連続する2整数の積は偶…

2013年 一橋大 不定方程式 〜一橋大の数学〜

2013年 一橋大 を満たす正の整数 の組をすべて求めよ. 思考力,発想力なんかいらない! 3次の不定方程式なので,積の形へ持ち込みます.対称式にも注目しましょう. 解答 より, とすると, (i) のとき, より不適(ii) のとき , より (iii) のとき, , とな…

2012年 東工大 ガウス記号 約数 〜東工大の数学〜

2012年 東工大 実数 に対して, を超えない最大の整数を で表す.10000以下の正の整数 で 約数となるものは何個あるか. 思考力,発想力なんかいらない! ガウス記号の問題は の不等式を利用します. まずは,状況を把握するためにも,少し実験してみましょ…

2012年 一橋大 整数問題 不定方程式 約数 〜一橋大の数学〜

2012年 一橋大 1つの角が 120°の三角形がある.この三角形の3辺の長さ は を満たす整数である. (1) を満たす の組をすべて求めよ. (2) を満たす の組をすべて求めよ. (3) を 0 以上の整数とする. を満たす の組の個数を と の式で表せ. 思考力,発想力…

2010年 大阪大 整数 不定方程式 〜阪大の数学〜

2010年 大阪大 を3以上の整数とする.等式 を満たす の 組をすべて求めよ. 思考力,発想力なんかいらない! 3文字なので,「範囲を絞る」が基本です.そこで,勝手に仮定します. とする. か に置き換えて不等式作ってみます.んーでも,引き算,分数が混…

2009年 名古屋大 整数問題 不定方程式 〜名大の数学〜

2009年 名古屋大 選択問題 を正の整数とする. (1) をみたす組 をすべて求めよ. (2) を3以上の素数とする. をみたす組 のうち, を最小にする を求めよ. 思考力,発想力なんかいらない! 不定方程式の基本題です.分母を払えば積の形へ持ち込めます.「素…

2009年 一橋大 整数問題 不定方程式 〜一橋大の数学〜

2009年 一橋大 2以上の整数 は をみたす. を求めよ. 思考力,発想力なんかいらない! 不定方程式です.今回は3次の不定方程式なので積の形へ. 解答 ★下線部の情報を整理しましょう.どちらが大きいかでも分かれば手数が減ります.右辺正から左辺も正, か…

2012年 東工大 非回転体の体積 四面体 〜東工大の数学〜

2012年 東工大 空間に4点 P , A , B , C の をみたす部分の体積を求めよ. 思考力,発想力なんかいらない! 非回転体の体積は断面を考えます.断面がわかりやすいように切断しましょう. 解答 4点A, B, C, Dをとると,下図のような正四面体となる. 対称性を…

2011年 名古屋大 回転体の体積 図形の回転 〜名大の数学〜

2011年 名古屋大 理系 とする. 空間内の平面 の上に長方形 がある.長方形 を 軸のまわりに1回転してできる立体を とする.(1) 立体 の体積 が最大となるときの の値,およびそのときの の値を求めよ. (2) を(1)で求めた値とする.このときの立体 を 軸の…

2007年 東北大 回転体の体積 図形を回転 〜東北大の数学〜

2007年 東北大 理系 空間において,点 と点 を結ぶ線分を とし, を 軸のまわりに一回転してできる図形を とする. を 軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ. 思考力,発想力なんかいらない! 回転体の体積は,回転軸に垂直に切断し,断面を考え…

立体の体積

立体の体積 非回転体の体積 2008年 京大 円柱の切断 おススメ度★★★ 難易度★ 2013年 東北大 円柱の切断 おススメ度★★★ 難易度★★ 2016年 大阪市立大 不等式が表わす体積 おススメ度★★★ 難易度★★ 2015年 九州大 影の問題 おススメ度★★★ 難易度★★ 2012年 東工大 …

背理法とその使い時

背理法とその使い時 背理法は,無理数の証明のときに使うのが有名ですね.無理数の証明はやりずらいので,有理数と仮定して矛盾を示します.無理数の証明で有名ですが,無理数に限らず証明しずらい論証問題では背理法が有効になることがしばしばあります. …

ガウス記号の問題とその解き方

ガウス記号の問題とその解き方 実数 に対して, 以下の最大の整数を と表すこれがガウス記号の意味です.これから の不等式を作ることができます.これを利用して問題を解いていきます.ガウス記号の問題がきたら上の不等式を真っ先に思い出しましょう. 例…

倍数の証明とその解き方

倍数の証明 連続する積の利用 連続する2数の積は2の倍数 連続する3数の積は3の倍数は明らかとして使用します.式変形で連続する数が作れるとき有効です. しらみつぶしに調べる 例:5の倍数,と言われたら を代入してすべて調べる代入する式が簡単なときに有…

不定方程式とその解き方

不定方程式とその解き方 2元1次不定方程式なら具体的な解を1つ(特殊解) 積の形へ 範囲を絞る 2元1次不定方程式 基本 を満たす整数解をすべて求めよ. 考え方 と変形すると直線の式になりますから,これを満たす解は無数にありそうです.1個1個,調べるわけに…

整数問題と解き方

整数問題と解き方 公倍数・公約数 不定方程式 余りに注目 (合同式) 倍数の証明 進法 ガウス記号

*2014年 名古屋大 回転体の体積 立体を回転 〜名大の数学〜

2014年 名古屋大 理系 空間内にある半径1の球 (内部を含む) を とする.直線 と が交わっており,その交わりは長さ の線分である. (1) の中心と との距離を求めよ. (2) のまわりに を1回転してできる立体の体積を求めよ. 思考力,発想力なんかいらない! …

2013年 東北大 非回転体の体積 円柱の切断 〜東北大の数学〜

2013年 東北大 半径1の円を底面とする高さ の直円柱がある.底面の円の中心を とし,直径を1つ取り とおく. を含み底面と の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき,体積の小さい方の部分を とする. (1) 直径 AB と直交し,O との距離が であ…

2015年 大阪大 面積評価 〜阪大の数学〜

2015年 大阪大 理系 の整数部分を求めよ. 思考力,発想力なんかいらない! 問題文が短くてビビります,が といった単調減少関数のシグマは面積評価?整数部分なので,不等式を作りましょう. 解答 関数 とおく. は単調減少関数で,図のように面積を比較する…

2015年 九州大 面積評価 〜九大の数学〜

2015年 九州大 以下の問いに答えよ. (1) 関数 は において単調に減少することを示せ. (2) 不定積分 を求めよ. (3) を3以上の整数とするとき,不等式 が成り立つことを示せ. 思考力,発想力なんかいらない! 単調減少・増加関数に関する不等式では面積評…

2015年 九州大 非回転体の体積 〜九大の数学

2015年 九州大 理系 座標空間内に,原点 を中心とする半径1の球がある.下の概略図のように, 軸の負の方向から仰角 で太陽光線が当たっている.この太陽光線はベクトル に平行である. 球は光を通さないものとする.以下の問いに答えよ.(1) 球の の部分が …

2015年 北海道大 積分漸化式,積分方程式 〜北大の数学〜

2015年 北海道大 理系 は自然数, は をみたす実数とし,実数 の関数を考える.ただし, のときは とする. (1) を示せ. (2) をみたす と の値を求めよ. (3) (2)で求めた と に対して, を求めよ. 解答 (1) よって となる. (2) より, なので, となるの…

2015年 大阪大 不等式証明と数列の極限 〜阪大の数学〜

2015年 大阪大 理系 自然数 に対して関数 を で定める.以下の問いに答えよ. (1) を示せ. (2) 数列 を で定める. のとき であることを用いて数列 が収束することを示し,その極限値を求めよ.ただし, であることは用いてよい. 思考力,発想力なんかいら…

2015年 東工大 数列の極限 〜東工大の数学〜

2015年 東工大 数列 を, , で定める.また,数列 を, と定める.(1) 数列 の一般項を求めよ. (2) すべての に対して,不等式 が成り立つことを示せ. (3) 極限値 を求めよ. 思考力,発想力なんかいらない! 求めにくい極限はハサミウチ.方針は立つのですが…

2012年 東北大 解けない漸化式の極限 〜東北大の数学〜

2012年 東北大 数列 を , で定める.以下の問いに答えよ. (1) のとき, となることを示せ. (2) を満たす正の実数 を求めよ. (3) すべての自然数 に対して となることを示せ. (4) を満たすある実数 に対して,不等式 が成り立つことを示せ.さらに,極限 …

2010年 名古屋大 確率漸化式 〜名大の数学〜

2010年 名古屋大 はじめに,A が赤玉を1個,B が白玉を1個,C が青玉を1個持っている.表裏の出る確率がそれぞれ の硬貨を投げ,表が出れば A と B の玉を交換し,裏が出れば B と C の玉を交換する,という操作を考える.この操作を 回 くり返した後に A, B…

2016年 大阪市立大 非回転体 不等式の表す体積

2016年 大阪市立大 理系 (1) 0 以上の整数 に対し, とおくとき, を示せ.ただし, と定める. (2) 座標空間内で, , , , , 連立不等式の表す領域の体積を求めよ. 思考力,発想力なんかいらない! 不等式の表す立体の体積は,断面がわかりやすように切断し…

2008年 京都大 非回転体の体積 円柱の切断 〜京大の数学〜

2008年 京都大 理系 次の式で与えられる底面の半径が2 ,高さが1の円柱 を考える. 平面上の直線 を含み, 平面と の角をなす平面のうち,点 を通るものを とする.円柱 を平面 で二つに分けるとき,点 を含む方の体積を求めよ. 思考力,発想力なんかいらな…

立体の体積とその求め方

立体の体積の求め方 非回転体の体積 幾何を利用する 四面体などのわかりやすい立体の場合は余弦定理などを使って必要な長さを求めることができます. 対称性を利用して切断し平面をとらえることで長さを求める 数Ⅲの非回転体の体積 例:円柱の切断,不等式が…

2012年 一橋大 確率漸化式 〜一橋大の数学〜

2012年 一橋大 (2)期待値の問題削除 最初に1の目が上面にあるようにサイコロが置かれている.その後,4つの側面から1つの面を無作為に選び,その面が上面になるように置き直す操作を 回繰り返す.なお,サイコロの向かい合う面の目の数の和は7である.最後に…

2012年 京大 文系 確率・考えやすいように言い換える 〜京大の数学〜

2012年 京大 文系 を3以上の整数とする.1から までの番号をつけた 枚の札の組が2つある.これら 枚の札をよく混ぜ合わせて,札を1枚ずつ3回取り出し,取り出した順にその番号を とする. となる確率を求めよ.ただし一度取り出した札は元に戻さないものとす…

極限

極限 数列の極限 mathchem.hatenablog.com

2012年 東工大 数列の極限 ハサミウチの原理 〜東工大の数学〜

2012年 東工大 第4問 を正の整数とする.数列 をによって定める.(1) および を求めよ.(2) 一般項 を求めよ.(3) とおくとき, を示せ. (1) 推測しろということですね.丁寧に. (2) 帰納法ですね.(1)より,と推測.(i) のとき,①は成り立つ.(ii) のとき…

2012年 北海道大 確率・反復試行 〜北大の数学〜

2012年 北海道大 A と B の2 チームが試合を行い,どちらかが先に 勝するまで試合をくり返す.各試合で A が勝つ確率を , B が勝つ確率を とし, とする.A が B より先に 勝する確率を とおく. (1) を と で表せ. (2) を と で表せ. (3) を と で表せ. …

2012年 東京大 最大・最小値問題 〜東大の数学〜

2012年 東京大 文系 実数 は を満たすとし,座標平面上の4点 , , , を考える.また線分 上の点 を となるように定める. を動かしたときの三角形 の面積の最大値を求めよ. 思考力,発想力なんかいらない! 誘導はないものの,必要なものをすべて出すだけで…

2012年 名古屋大 二項定理と数学的帰納法 〜名大の数学〜

2012年 名古屋大 を3以上の奇数とし, は で割り切れないとする. (1) の展開式における の項の係数を求めよ. (2) は で割り切れることを示せ. (3) は で割り切れないことを示せ. (4) を正の整数とし, とする. で割り切れることを示せ. 思考力,発想力…

2012年 名古屋大 確率・出る目の最大値・最小値 〜名大の数学〜

2012年 名古屋大 を2以上の整数とする.1から までの整数が1つずつ書かれている 枚のカードがある.ただし,異なるカードには異なる整数が書かれているものとする.この 枚のカードから,1枚のカードを無作為に取り出して,書かれた整数を調べてからもとに戻…

場合の数とその解き方

場合の数とその解き方 場合の数の基本〜考えやすいように言い換える〜 mathchem.hatenablog.com

場合の数の基本〜考えやすいように言い換える〜

場合の数の基本〜考えやすいように言い換える〜 例題 4 桁の整数を作る.その千の位の数を , 百の位の数を , 十の位の数を , 一の位の数を とする. (1) となる整数は全部で何個か. (2) となる整数は全部で何個か. (3) となる整数は全部で何個か. (1) 調…

確率の基本〜反復試行〜

反復試行 A チームと B チームが続けて野球の試合を行い,先に4勝した方が優勝するという.それぞれのチームの勝つ確率は で,引き分けはないものとする. (1)Aチームが4戦目で優勝する確率を求めよ. (2)5戦目で優勝する確率する確率を求めよ. (3)6戦目で…

確率の基本〜じゃんけん問題〜

例題 3人で1回じゃんけんをするとき, (1)2人が勝ち1人が負ける確率を求めよ. (2)勝負がつかない確率を求めよ.じゃんけんの問題は「だれが,どの手で」を考えます. 解答 ★じゃんけんの問題は「だれが,どの手で勝つか(負けるか)」を考えます. 3人の手の…

確率の基本〜分かりやすく言い換える〜

確率の基本〜分かりやすく言い換える〜 確率の問題では,そのまま直接求めようとすると場合分けが多くなってしまう問題も,言い換えによって場合分けを避けることができる問題が少なくありません.確率を考えるときは,「言い換え」を意識してみると楽ができ…

証明問題

証明問題 2013年 東工大 第1問 数学的帰納法 mathchem.hatenablog.com 2012年 名古屋大 理系 二項定理と帰納法 mathchem.hatenablog.com

2013年 東工大 数学的帰納法 〜東工大の数学〜

2013年 東工大 第1問(1) 2次方程式 の2つの解 に対し, はすべての正の整数 について5の整数倍になることを示せ。 思考力,発想力なんかいらない! 5の整数倍なので, と置きたくもなるのですが, 乗がでてくるのでそれは厳しそう?そこで,自然数 を含む証…

数学的帰納法とその使い時

目次 数学的帰納法とそのやり方 目次 数学的帰納法とそのやり方 数学的帰納法って? どんな時に使うの? 例題1 不等式証明 ポイント 解答・解説 問題によっては... 例題2 一般項が求めにくい漸化式は推測して帰納法 ポイント 解答・解説 数学的帰納法って…

極限とその解き方

極限とその解き方 解けない漸化式の極限とその解き方〜基本編〜 解けない漸化式の極限とその解き方〜応用編〜

解けない漸化式の極限とその解き方〜応用編〜

解けない漸化式の極限とその解き方〜応用編〜 解けない漸化式の極限とその解き方〜基本編〜では,誘導に従い与えられたものを使えば極限が求まりました.しかし,問題によっては自分で不等式を作らねばならない問題もあります.こんなときは平均値の定理が有…