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2017年 筑波大 〜漸化式と帰納法〜

問題

数列 {a_n} が,a_{1}=1, a_2 =3 , a_{n+2}=3a_{n+1}^{2}-6a_{n+1}a_{n}+3a_{n}^{2}+a_{n+1}\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots
) を満たすとする. また,b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots) とおく.
以下の問いに答えよ.
(1) b_{n}\geqq 0\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots) を示せ.
(2) b_{n}\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots) のーの位の数が2であることを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) a_{2017} のーの位の数を求めよ.

解答

★漸化式が与えられている場合は帰納法が有効です.

(1) 数学的帰納法で示す.
(i) n=1のとき,
b_1=a_2-a_1=3-1=2≧0で成り立つ.
(ii)n=kのとき,b_k≧0 が成り立つと仮定すると,



\begin{align}
b_{k+1}&=a_{k+2}-a_{k+1}\\
&=3a_{k+1}^{2}-6a_{k+1}a_{k}+3a_{k}^{2}+a_{k+1}-a_{k+1}\\
&=3(a_{k+1}-a_k)^2≧0
\end{align}

帰納法の指示があります.誘導なしでも解けて欲しい.
また,聞かれているのが,1の位なので,合同式が思い浮かべばOK

(2) 数学的帰納法で示す.
(i) n=1のとき,b_1=a_2-a_1=2で成り立つ.
(ii) n=k で成り立つと仮定すると,
b_k=a_{k+1}-a_{k} の一の位が2である.
ここで,(1)から b_{k+1}=3(a_{k+1}-a_k)^2
であることに注目する.

そして,mod 10として合同式を考える.

b_k≡a_{k+1}-a_{k}≡2
(a_{k+1}-a_k)^2≡4
b_{k+1}≡3(a_{k+1}-a_k)^2≡12≡2

となり,n=k+1 のときも成り立つので,帰納的に示された.




(3)
★丁寧な誘導です.実験できればゴールが見えてきます.

a_{n+1}=b_{n}+a_{n}なので,
b_{n}≡2 (以下 mod 10) であることを用いて,
a_1≡1
a_2≡b_1+a_1≡2+1≡3
a_3≡b_2+a_2≡2+3≡5
a_4≡b_3+a_3≡2+5≡7
a_5≡b_4+a_4≡2+7≡9

これを繰り返す

2017=5 \cdot 403+2

なので,1の位は3である.